さいきんやったすうがくのおべんきょう

　　現役の時便利だよ。と教わったものの結局よくわからなかった二階微分などについて数三の勉強をしていたら確認する機会が出てきたので自分の理解を確かめる意味もかねて書き残しておきたいと思います。図も頑張ってお絵かきソフトで書いてみました。

１．まず微分とは何か

　微分とは簡単に言えば関数の傾きを求めること。ある点と点を結んだ直線の傾きの求め方は、ｙの差をｘの差で割ること。ある関数ｙ＝ｆ(ⅹ)上の異なる二点A(a,f(a))、B(ｂ、ｆ(ｂ))を結んだ線分ABの傾きは

                           ｆ(b)－ｆ(a) / b－a    となる。

(異なる二点なのでｂ－aは０ではない。)

 

微分とはこの二点ABの距離を限りなく小さくしたときの傾きである。例えばｙ＝ｆ(ｘ)(f(ｘ)は曲線)として、それ上の点A(a,f(a))と点A’(a＋ｈ、ｆ(a＋h))の傾きを考える。上と同様の考え方により傾きの式は

　　　　     f (a＋h)－f(a) /  (a＋h)－a  となる。

ただし、今回はⅹ座標の差が限りなく小さくなる時を考えたいので、今回のｘ座標の差であるｈを限りなく０に近づけるということになる。

これをlim f(a＋h)－f(a)/h (ｈ→０)　と表す。←(＊)とする。

これが微分係数とよばれるものである。では、この式は図形的にはどのようなことを表しているのだろうか。図を描いてみればわかるが、点Aとそれに限りなく近い点A'を結んだ直線は点Aにおけるｙの接線となっていることがわかる。一般的にこの(＊)をf’(a)と書く。これを関数としてみるとｆ(ｘ)を微分したものがｆ’(ｘ)である。

つまりf’(ｘ)はf(x)の傾きの値を表す関数である。

 

２．増減表について

増減表は微分を利用してｆ(ｘ)の増減を示す。１で確認したように微分係数は傾きを表す。微分係数が正の時、その点での接線の傾きが正となる。接線の傾きが正となるような接線を持つ部分のｆ(ｘ)は単調増加である。つまりグラフとしては右上がりとなる。

逆に微分係数が負になるとき、その点での接線の傾きが負となる。接線の傾きが負となるような接線を持つような部分のｆ(ｘ)は単調減少のである。つまりグラフは右下がりとなる。

このように微分した値の正負によってf(ｘ)の増減がわかるというのがポイントである。

 

３．二階微分について

２で確認したように微分係数が正の時はｆ(ｘ)は右上がり、微分係数が負の時はｆ(ｘ)は右下がりであるとわかった。

ではf(ｘ)を微分したものであるf’(ｘ)をさらに微分したものであるf”(ｘ)について考える。だが、傾きを微分したものだということになるがこれでは何のことかわからない。

 

ここでさっきのｆ(ｘ)をf’(ｘ)、f’(ｘ)をf”(ｘ)として考える。つまりf”(ｘ)が正となったとき、f’(ｘ)は単調増加となる。接線の傾きが単調増加しているとき、大きな負→小さな負→０→小さな正→大きな正と接線の傾きが変化していくので、そのような傾きの推移を持つf(ｘ)は下に凸な形となる。逆にf”(ｘ)が負となっているときf’(ｘ)は単調減少である。接線の傾きが単調減少するとき大きな正→小さな正→０→小さな負→大きな負というように値が変化していくので、そのような傾きの推移を持つf(x)は上に凸な形のグラフになる。

このようにf”(x)の値から、f’(ｘ)のみの時よりも正確なf(x)のグラフの概形がわかるのである。

 

４．まとめ

このように、微分された関数の概形は、微分係数が正の時右上がり、負の時右下がりと定まることによりつかむことができる。最近数三の微積と線形代数の勉強をしているのだが、なかなか数式を図形的にも理解するということができないでいたのでまとめてみた。論述問題を描くときなどでもそうだが、自分の言葉で表現するというのはときに自分のあいまいな部分が浮き彫りになるので自分の理解度を試すうえではよい方法だと思う。ちなみに今回の記事はすべてパソコンから打ち込んでみました。それではまた。